New Page 4

(1) An electric field of intensity 3.5´10³N/C is applied the x-axis. Calculate the electric flux through a rectangular plane 0.35m wide and 0.70m long if (a) the plane is parallel to the yz plane, (b) the plane is parallel to the xy plane, and (c) the plane contains the y axis and its normal makes an angle of 40^o with the x axis.

(a) the plane is parallel to the yz plane

في هذه الحالة يكون المجال عمودي على المستوى ويكون قيمة الفيض الكهربي اي ان الزاوية بين متجه المجال ومتجه المساحة يساوي صفر

j = E cos0 A = 3.5´10³x0.35x0.7 = 857.5 N.m²/C

(b) the plane is parallel to the xy plane

في هذه الحالة يكون المجال موازي للمستوى اي ان الزاوية بين متجه المجال ومتجه المساحة يساوي 90 درجة

j = E cos90 A = 0

(c) the plane contains the y axis and its normal makes an angle of 40^o with the x axis.

j = E cos40 A = 656.8 N.m²/C

(2) A point charge of +5mC is located at the center of a sphere with a radius of 12cm. What is the electric flux through the surface of this sphere?

لحساب الفيض الكهربي نجد ان الشحنة داخل سطح جاوس هي +5mC ومن القانون

j = q/e_o

j = 5.6x10⁵N.m²/C

(3) (a) Two charges of 8mC and -5mC are inside a cube of sides 0.45m. What is the total electric flux through the cube? (b) Repeat (a) if the same two charges are inside a spherical shell of radius 0. 45 m.

لا يختلف الفيض الكهربي إذا كانت الشحنات داخل مكعب او كرة لان الفيض الكهربي يعتمد على مقدار الشحنة الكلية داخل السطح وتحسب من العلاقة

j = q/e_o

j = (+8x10^-6-5x10^-6)/8.85x10^-12 = 3.4x10⁵N.m²/C

(4) The electric field everywhere on the surface of a conducting hollow sphere of radius 0.75m is measured to be equal to 8.90´10²N/C and points radially toward the center of the sphere. (a) What is the net charge within the surface? (b) What can you conclude about charge inside the nature and distribution of the charge inside the sphere?

حيث ان القشرة الكروية hollow sphere مادة موصلة فإن الشحنة داخل القشرة يجب ان تساوي صفر لان المجال الكهربي داخل مادة الموصل في الحالة الكهروستاتكية يساوي صفر لذا فإن الشحنة سالبة وتستخر على السطح الخارجي للقشرة ويمكن إبجاد مقدارها من خلال حساب قيمة الفيض الكهربي

j = EA = E 4pr²

j = 6.3x10³ N.m²/C

ومن قيمة الفيض الكهربي يمكن ايجاد الشحنة من العلاقة

j = q/e_o

q=5.5x10^-8C

(5) Four closed surfaces, S₁, through S₄, together with the charges -2Q, +Q, and -Q are sketched in figure 4.21. Find the electric flux through each surface.

Figure 4.21

يعتمد الفيض الكهربي لسطح مغلق ما على مقدار الشحنة الكلية داخل ذلك السطح وعليه فإن قيمة الفيض الكهربي للأسطح الاربعة هو على النجو التالي:

S₁ = -2Q+Q/e_o = -Q/e_o

S₂ = +Q-Q/e_o = 0

S₃ = -2Q+Q-Q/e_o = -2Q/e_o

S₄ = 0/e_o = 0

(6) A conducting spherical shell of radius 15cm carries a net charge of -6.4mC uniformly distributed on its surface. Find the electric field at points (a) just outside the shell and (b) inside the shell.

حيث ان القشرة الكروية الموصلة تمتلك شحنة كلية سالبة فإنها تتوزع بحيث تستقر كلها على السطح الخارجي للقشرة الكروية وعليه يكون المجال الكهربي داخل القشرة الكروية مساوياً للصفر بينما يكون المجال الكهربي بعد تطبيق قانون جاوس كما يلي:

E 4pr²= q/e_o

E = 2.55x10⁶N/C

(7) A long, straight metal rod has a radius of 5cm and a charge per unit length of 30nC/m. Find the electric field at the following distances from the axis of the rod: (a) 3cm, (b) 10cm, (c) 100cm.

حيث ان الساق معدني وهو موصل فإن السحنة تستقر على السطح الخارجي للساق وذلك كما في الشكل التالي:

وباستخدام العلاقة التالية يمكن حساب المجال الكهربي عند انصاف المسافات المطلوبة.

مع العلم ان المسافة 3سم تقع داخل مادة الساق ويكون المجال عندها يساوي الصفر.

(a) zero

(b) 5.4x10³N/C

(c) 540N/C

(8) A square plate of copper of sides 50cm is placed in an extended electric field of 8´10⁴N/C directed perpendicular to the plate. Find (a) the charge density of each face of the plate and (b) the total charge on each face.

E = 8x10⁴N/C

A = 0.25m²

EA = q/e_o

q = 0.17x10^-6C

s = 0.68x10^-6C/m²

(9) A solid copper sphere 15cm in radius has a total charge of 40nC. Find the electric field at the following distances measured from the center of the sphere: (a) 12cm, (b) 17cm, (c) 75cm. (d) How would your answers change if the sphere were hollow?

حيث ان الكرة من مادة موصلة لذا فإن الشحنة 40nC تستقر على السطح الخارجي للكرة الموصلة، وعلى هذا الاساس يمكن تطبيق قانون داوس لايجاد قيمة المجال الكهربي عند المسافات المطلوية.

(a) At 12 cm the charge in side the gaussian surface is zero so the electric field E=0

(b) نرسم سطح جاوس كروي الشكل نصف قطره 17cm ونحدد اتجاه المجال والمتجه العمودي على عنصر المساحة dA وجيث ان الزاوية بين متجه المجال ومتجه المساحة تساوي صفر نطبق قانون جاوس كما يلي

حيث أن المجال ثابت على سطح جاوس فإن

حيث ان المساحة هي مساحة سطح جاوس هي مساحة الكرة نصف قطرها 17cm

بالتعويض عن القيم في المعادلة السابقة نجد ان المجال الكهربي

E = 125x10⁴N/C radially outward

E = 639N/C radially outward

(d) عند تغيير الكرة بقشرة كروية فإن المجال الكهربي لن يتغير وذلك لان الشحنة الكهربية ستستقر على السطح الخارجي للقشرة الكروية ايضا لانها من مادة موصلة.

(10) A solid conducting sphere of radius 2cm has a positive charge of +8mC. A conducting spherical shell d inner radius 4cm and outer radius 5cm is concentric with the solid sphere and has a net charge of -4mC. (a) Find the electric field at the following distances from the center of this charge configuration: (a) r=1cm, (b) r=3cm, (c) r=4.5cm, and (d) r=7cm.

يوضح الشكل المقابل الكرة المعدنية الوسطى والتي يحيط بها قشرة كروية كما في الشكل ويكمن حل السؤال في توزيع الشحنة على الكرة المركزية والقسرة الكروية. حيث ان الكرة والقشرة من مادة موصلة لذا فإن الشحنة +8mC تستقر على السطح الخارجي للكرة وبالنسبة للقشرة الكروية فإنه تكون على السطح الداخلي تتكون شحنة سالبة مقدارها 8mC وذلك بالحث أما على السطح الخارجي للقشرة الكروية فتكون قيمة الشحنة موجب 4mC وبهذا فإن صافي الشحنة على القشرة الكروية سالب 4mC وهي محصلة الشحنة على السطح الداخلي والخارجي للقشرة الكروية.

(a) عندما تكون المسافة المطلوب ايجاد المجال الكهربي عندها يساوي 1سم فهذا يعني انه في داخل الكرة الموصلة حيث لايوجد شحنة فيكون المجال الكهربي يساوي صفر

E=0 at r=1cm

(b) عندما تكون المسافة 3سم فهذا يكون في الفراغ بين الكرة والقشرة ووعندها نأخذ سطح جاوس كروي نصف قطره 3سم وتكون قيمة الشحنة داخل سطح جاوس تساوي 8mC

º ºº

E = 8x10⁷N/C radially outward

(c) عندما تكون المسافة 4.5سم فهذا يعني ان المجال المطلوب داخل القشرة الكروية ولكون ان الشحنة توزع بحيث ان السطح الداخلي للقشرة الكروية يحتوي على شحنة مساوية في المقدار للشحنة على الكرة المركزية ومعاكس لها في الإشارة فيكون مقدار الشحنة داخل سطح جاوس الذي نصف قدره 4.5سم يساوي صفر. وهذا يتفق مع ان المجال داخل مادة الموصل يساوي صفر

E=0 at r=4.5cm

(d) عندما تكون المسافة 7سم فإن المجال الكهربي يحسب بتطبيق قانون جاوس على سطح كروي نصف قطره 7سم كما في الشكل المقابل.

وبتطبيق قانون جاوس نجد ان قيمة المجال هي

E = 7.35x10⁶N/C radially outward

(11) A non-conducting sphere of radius a is placed at the center of a spherical conducting shell of inner radius b and outer radius c, A charge +Q is distributed uniformly through the inner sphere (charge density rC/m³) as shown in figure 4.22. The outer shell carries -Q. Find E(r) (i) within the sphere (r<a) (ii) between the sphere and the shell (a<r<b) (iii) inside the shell (b<r<c) and (iv) out side the shell and (v) What is the charge appear on the inner and outer surfaces of the shell?

Figure 4.22

حيث ان الكرة المركزية هي كرة من مادة غير موصلة لهذا فإن الشحنة تتوزع بكثافة توزيع حجمي charge density rC/m³ ولإيجاد المحال الكهربي عند نقطة داخل الكرة الغير موصلة نستخدم قانون جاوس كما يلي

r<a

q_in =rV`=r(4/3pr³)

since

(for r<a)

a<r<b

في هذه الحالة يكون المجال ناتج عن الشحنة داخل سطح جاوس وهي الشحنة الكلية للكرة المركزية +Q

(for a<r<b)

b<r<c

وهذا يعني ان نجد المجال الكهربي داخل القشرة الكروية وحيث ان مادة القشرة الكروية موصلة فإن المجال الكهربي يساوي صفر, وذلك يعود إلى توزيع الشحنة على سطحي القشرة الكروية حيث يوجد على السطح الداخلي للقشرة شحنة قدرها -Q فتكون الشحنة على السطخ الخارجي للقشرة الكروية شحنة قدرها صفر

r>c

يكون المجال الكهربي عند مسافة اكبر من نصف قطر القشرة الخارجي يساوي صفر لان الشحنة الكلية داخل سطح جاوس يساوي صفر.

(12) A solid sphere of radius 40cm has a total positive charge of 26mC uniformly distributed throughout its volume. Calculate the electric field intensity at the following distances from the center of the sphere: (a) 0 cm, (b) 10cm, (c) 40cm, (d) 60 cm.

حيث ان الكرة تحتوي على شحنة موزعة بانتظام على حجم الكرة اي بتوزيع حجمي بكثافة r لذا فإن المجال الكهربي داخل مادة الكرة سوف يعطى بالعلاقة التالية

حيث a نصف قطر الكرة وr المسافة المراد حساب المجال الكهربي عندها

(a) عند مسافة صفر اي المجال في مركز الكرة حيث لا يوجد شحنات يكون المجال الكهربي يساوي صفر

E = 0

(b) عند مسافة 10سم نطبق المعادلة السابقة ويكون المجال الكهربي

E = 3.6x10⁵N/C

(c) عند مسافة 40 سم وهي نصف قطر الكرة نستخدم المعادلة السابقة التي تؤول إلى المعادلة التالية

E = 1.5x10⁶N/C

(d) عند مسافة 60 سم نستخدم المعادلة التالية

E = 6.5x10⁵N/C

(13) An insulating sphere is 8cm in diameter, and carries a +5.7mC charge uniformly distributed throughout its interior volume. Calculate the charge enclosed by a concentric spherical surface with the following radii: (a) r=2cm and (b) r=6cm.

حيث a نصف قطر الكرة وr المسافة المراد حساب المجال الكهربي عندها

(a) for r = 2cm

E = 2x10⁶N/C

(b) for r = 6cm

E = 6x10⁶N/C

وهذا يعني انه في داخل الكرة الغير موصلة يكون المجال يتناسب طرديا مع المسافة في حالة ان المسافة اقل من نصف قطر الكرة

(14) A long conducting cylinder (length l) carry a total charge +q is surrounded by a conducting cylindrical shell of total charge
-2q as shown in figure 4.23. Use Gauss’s law to find (i) the electric field at points outside the conducting shell and inside the conducting shell, (ii) the distribution of the charge on the conducting shell, and (iii) the electric field in the region between the cylinder and the cylindrical shell?

Figure 4.23

حيث ان الاسطوانة المركزية من مادة موصلة لذا فإن الشحنة تستقر على السطح الخارجي ومقدارها +q. أما على القشرة الاسطوانية فإن على سطحها الداخلي توجد شحنة مساوية في المقدار للشحنة على الاسطوانة المركزية ومعاكسة لها في الاشارة أي -q، اما على السطح الخارجي فيتواجد -q بحسث سصبح مجموع الشحنة على السطح الداخلي والسطح الخارجي مساوياً للشحنة الكلية 2q-.

(i) the electric field at points outside the conducting

بتطبيق قانون جاوس على سطح اسطواني نصف قطره r وطوله l نحصل على النتيجة التالية

the electric field at points inside the conducting shell
E=0

(iii) the electric field in the region between the cylinder and the cylindrical shell

(15) Consider a thin spherical shell of radius 14cm with a total charge of 32mC distributed uniformly on its surface. Find the electric field for the following distances from the center of the charge distribution: (a) r=10cm and
(b) r =20cm.

كما في الشكل نلاحظ ان المطلوب هو ايجاد المجال الكهربي عند مسافة اقل من القشرة الكروية وهنا يكون المجال الكهربي يساوي صفر لان الشحنة تستقر على السطح الخارجي للقشرة ولا يوجد شحنة داخل القشرة الكروية

(a) r=10cm then, E=0

(b) r=20cm

كما في الشكل نلاحظ ان المطلوب هو ايجاد المجال الكهربي عند مسافة اكبر من نصف قطر القشرة الكروية وهذا يتم من خلال استخدام قانون جاوس

E = 7.2x10⁶N/C

(16) A large plane sheet of charge has a charge per unit area of 9.0mC/m². Find the electric field intensity just above the surface of the sheet, measured from the sheet's midpoint.

بتطبيق قانون جاوس على سطح اسطواني كما في الشكل نحصل على

E = 5x10⁵N/C

(17) Two large metal plates face each other and carry charges with surface density +s and -s respectively, on their inner surfaces as shown in figure 4.24. What is E at points (i) to the left of the sheets (ii) between them and (iii) to the right of the sheets?

Figure 4.24

حيث ان اللوحين من المعدن وهذا يعني ان الشحنات يمكن ان تتحرك بحرية في مادة الموصل لتستقر على سطح اللوح وحيث ان اللوحين مشحونين بشحنتين مختلفتين لذا تتولد قوة تجاذب بين الشحنات مما يجعلها تستقر على السطح الداخلي في الحيز بين اللوحين، اما اذا كانت الشحنات متشابهة فإن الشحنات تتنافر وتستقر على السطح الخارجي للوحين.

وفي هذه الحالة يكون المجال على يمين اللوحين وعلى اليسار مساوياً للصفر، اما المجال الكهربي عند نقطة بين الوحين هو محصلة المجال الناشئ عن كل لوح عند تلك النقطة وهنا يكون اتجاه المجال إلى اليسار فإن المجال المحصل يعطى كما يلي:

E = -E1-E2